水素原子の「電子軌道」の波動関数，シュレディンガー方程式の解
Ａ．２体問題
水素原子は、陽子１個の原子核と電子１個で構成されています。ここでは水素原子のシュレディンガー方程式を次の最もシンプルな系で解きます。
「電子・陽子の２質点の運動と静電ポテンシャル」そして「電子・陽子の重心を原点においた系」で式をたて解きます。
電子１個の質量
陽子１個の質量
XYZ座標で表した電子の座標
(x1, y1, z1)
XYZ座標で表した陽子の座標
(x2, y2, z2)
時間に依存しないシュレディンガーの波動方程式
ΨＴ：全波動関数
ＥＴ：全エネルギー
Ｖ ：静電ポテンシャルエネルギー
シュレディンガーの波動方程式は、エネルギー状態方程式であることが特徴です。
式（１－３）左辺第１項が質量ｍ１電子の運動エネルギー項。第２項が質量ｍ２陽子の運動エネルギー項。第３項が静電ポテンシャルエネルギー項です。右辺は、左辺合計の全エネルギーです。
ΨT 全波動関数とは：
後ほど出てきますが、この系には「電子軌道」と「並進運動」の関数が混在しています。これらを合わせた関数として全波動関数です。
ET 全エネルギーとは：
同様に、この系には運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーなどが混在しています。これら全て合わせたエネルギーとして全エネルギーとしています。
Ｖ 静電ポテンシャルエネルギー
Ｖは、以前はｃｇｉ単位系で表示していましたが、ここではＳＩ単位系(MKSA表示)にしています。 電子の電荷(－ｅ)。原子核の電荷Z×(＋ｅ)。Ｚは陽子の個数であり、Ｈ水素原子：陽子1個Ｚ＝１、＋Ｈｅイオン：陽子２個Ｚ＝２、２＋Ｌｉ２価イオン：陽子３個Ｚ＝３です。 これらは電子1個と原子核1個の2質点なので、水素様原子と呼ばれます。
書き換えると以下の式になります。
XYZ座標で表した重心の座標を（ｘ，ｙ，ｚ）とします。
「電子と陽子の重心を、原点においた系」、つまり重心（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０，０）。 ところが、これは１方では正しく、１方では間違いです？
図で示すと次のようになります。
Ｘ0Ｙ0Ｚ0座標
X0Y0Z0座標で、
電子と陽子の重心を、原点に設定
します。「電子軌道」の座標です。
球面座標
(極座標とも呼ばれる)
球面座標はＸ0Ｙ0Ｚ0座標を座標変換したものです。球面座標＝Ｘ0Ｙ0Ｚ0座標です。 「ρ」というものが出てきますが、円柱座標の変数ρです。ＸＹＺ座標→円柱座標→球面座標の座標変換の過程で使います。球面座標では媒介変数ρ＝ｒsinθです。 球面座標の変数はｒ、θ、φの３個だけです。
ＸＹＺ座標
電子と陽子はＸＹＺ座標で点（ｘ1，ｙ1，ｚ1）と（ｘ2，ｙ2，ｚ2）に設定します。 重心はＸＹＺ座標で点（ｘ，ｙ，ｚ）に設定します。 ＸＹＺ座標では重心（ｘ，ｙ，ｚ）≠（０，０，０）
「並進運動」は、重心の平行移動です。
重心
＝Ｘ0Ｙ0Ｚ0座標の原点であるため、「並進運動」とは、ＸＹＺ座標空間でのＸ0Ｙ0Ｚ0座標の平行移動です。
Ｘ0Ｙ0Ｚ0座標が平行移動である為、球面座標の変数θ,φは、Ｘ0Ｙ0Ｚ0座標とＸＹＺ座標で同じです。 変数ｒは２点間の距離で同じです。
なぜ球面座標(極座標)へ座標変換するのか
式(1-3)の左辺第３項VTポテンシャル項の変数が1/rであるためです。1/r=1/{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}^(1/2)です。これをＸＹＺ座標で解くのは大変です。今回は絶対座標であるＸＹＺ座標(観測者座標でもある)もあるため、以下詳述する球面座標への座標変換に少し手数が掛かりますが、その後は意外というほど簡単に解けます。解き方としては、式(1-3)の第３項は変数1/rで既に球面座標なので、第１項と第２項を球面座標に座標変換します。
座標を設定します。
XYZ座標と球面座標の関係式
ρ= r sinθとおくと次のようになります。
ｒはx1, y1, z1, x2, y2, z2で表すと次のようになります。
x, y, zは、x1, y1, z1, x2, y2, z2で表すと次のようになります。
(再掲)
r,θ, φ, ρは、x1, y1, z1, x2, y2, z2, ρで表すと次のようになります。
ρは、x1, y1, x2, y2で表すと次のようになります。
逆にx1, y1, z1, x2, y2, z2は、x, y, z, r, θ, φ, ρで表すと次のようになります。
さらにρ= r sinθとおくと次のように表されます。
ここまでで座標設定と前準備が整いました。
XYZ座標から球面座標へ座標変換します。
式(1-3)の波動方程式の左辺第1項と第2項を球面座標に変換します。
ラプラシアンは次のようなものでした。
このラプラシアンを球面座標に座標変換します。 式(1-31)の右辺の3個の項、式(1-32)の右辺の3個の項、計６個を個々に求めていきます。
●x1
式(1-31)の右辺第１項の∂^2/∂x1^2を求めます。
x1は次の式でした。
再掲
偏微分の一般的な公式を、２つ挙げます。
※詳しくは偏微分の本をご覧ください。
○x1の１階微分
・偏微分のポイント１
x1の１階微分。x1が、３個の変数ｘ、ρ、φの関数である場合、次のように表せます。
（途中計算は隠れています）
（x1の場合、右辺∂x/∂x1、∂ρ/∂x1、∂φ/∂x1を個々に求めます）
x1の１階微分∂/∂x1を得ます。
○x1の２階微分
・偏微分のポイント２
x1の２階微分は、x1の１階微分∂/∂x1を２回実施し、次のように求まります。
実際に計算していきます。
○x1の１階微分∂/∂x1
x1は、３個の変数ｘ、ρ、φの関数であるので次のように表せます。
途中計算
∂x/∂x1、∂ρ/∂x1、∂φ/∂x1を個々に求めます。
x1の１階微分∂/∂x1は次のように求まります。
○x1の２階微分∂^2/∂x1^2を求めます。
x1の１階微分∂/∂x1を２回実施します。
（途中計算）
式(1-31)の右辺第１項は次のように求まりました。
●y1
式(1-31)の右辺第２項の∂^2/∂y1^2を求めます。
y1は次の式でした。
再掲
○y1の１階微分∂/∂y1を求めます。
y1は、３個の変数ｙ、ρ、φの関数であるので次のように表せます。
（途中計算）
∂y/∂y1、∂ρ/∂y1、∂φ/∂y1を個々に求めます。
y1の１階微分∂/∂y1は次のように求まります。
○y1の２階微分∂^2/∂y1^2を求めます。
y1の１階微分∂/∂y1を２回実施します。
（途中計算）
式(1-31)の右辺第２項は次のように求まりました。
●z1
式(1-31)の右辺第３項の∂^2/∂z1^2を求めます。
z1は次の式でした。
再掲
○z1の１階微分∂/∂z1を求めます。
ｚ1は、３個の変数ｚ、ｒ、θの関数であるので次のように表せます。
（途中計算）
∂z/∂z1、∂r/∂z1、∂θ/∂z1を個々に求めます。
z1の１階微分∂/∂z1は次のように求まります。
○z1の２階微分∂^2/∂z1^2を求めます。
z1の１階微分∂/∂z1を２回実施します。
（途中計算）
式(1-31)の右辺第３項は次のように求まりました。
●式(1-31)の右辺を求めます。
∂/∂ρと∂^2/∂ρ^2は次のものです。
∂^2/∂ρ^2を代入します。
∂/∂ρとρ=ｒ sinθを代入します。
式(1-31)の右辺は次のように求まりました。
●x2
式(1-32)の右辺第１項の∂^2/∂x2^2を求めます。
x2は次の式でした。
再掲
○x2の１階微分
x2は、３個の変数ｘ、ρ、φの関数であるので次のように表せます。
（途中計算）
∂x/∂x2、∂ρ/∂x2、∂φ/∂x2を個々に求めます。
x2の１階微分∂/∂x2は次のように求まります。
○x2の２階微分∂^2/∂x2^2を求めます。
x2の１階微分∂/∂x2を２回実施します。
（途中計算）
式(1-32)の右辺第１項は次のように求まりました。
●y2
式(1-32)の右辺第２項の∂^2/∂y2^2を求めます。
y2は次の式でした。
再掲
○y2の１階微分
y2は、３個の変数ｙ、ρ、φの関数であるので次のように表せます。
（途中計算）
∂y∂y2、∂ρ/∂y2、∂φ/∂y2を個々に求めます。
y2の１階微分∂/∂y2は次のように求まります。
○y2の２階微分∂^2/∂y2^2を求めます。
y2の１階微分∂/∂y2を２回実施します。
（途中計算）
式(1-32)の右辺第２項は次のように求まりました。
●z2
式(1-32)の右辺第３項の∂^2/∂z2^2を求めます。
z2は次の式でした。
再掲
○z2の１階微分
ｚ2は、３個の変数ｚ、ｒ、θの関数であるので次のように表せます。
（途中計算）
∂z/∂z2、∂r/∂z2、∂θ/∂z2を個々に求めます。
z2の１階微分∂/∂z2は次のように求まります。
○z2の２階微分∂^2/∂z2^2を求めます。
z2の１階微分∂/∂z2を２回実施します。
（途中計算）
式(1-32)の右辺第３項は次のように求まりました。
●式(1-32)の右辺を求めます。
∂/∂ρと∂^2/∂ρ^2は次のものです。
∂^2/∂ρ^2を代入します。
∂/∂ρとρ=ｒ sinθを代入します。
式(1-32)の右辺は次のように求まりました。
得られたラプラシアンを式(1-3)に代入し、球面座標への座標変換を完了します。
再掲
式(1-3)の第１項＋第２項を求めます。
式(1-3)の第１項＋第２項は次のように求まります。
式(1-3)に代入すると、次のようになります。
換算質量(reduced mass)mrを次のようにおきます。
次のようになります。
第１項は（ｘ，ｙ，ｚ）つまり重心の運動エネルギー項になっています。 これが「並進運動」であり、「電子軌道」と混在しています。
ここで水素原子の「電子軌道」と「並進運動」は分離可能であるという前提条件で解きすすめていきます。
「並進運動」と「電子軌道」を分離します。
演算子と無関係な関数をそれぞれ演算子の左に出します。
左から を掛ける
並進運動の項を左辺へ、他を右辺へ移動します。
左辺は変数ｘ，ｙ，ｚの関数、右辺は変数ｒ，θ，φの関数、両辺が等しくなるためには定数である必要があります。ここでは０とおきます。
左辺より「並進運動」の方程式が得られます。
式(A-1)の「並進運動」は、最後の「Ｇ」で少しだけふれます。
右辺より「電子軌道」の波動方程式が得られます。
ここでmrは次の換算質量(reduced mass)です。
ポテンシャルVはSI単位系で次のようにおき、
整理すると次のような式になります。
この(A-2)式の「電子軌道」の波動方程式を、これから解いていきます。
また球面座標のラプラシアンを次のようにおけば、
波動方程式は次のようにも表せます。
>>NEXT
