水素原子の「電子軌道」の波動関数,シュレディンガー方程式の解

B.変数分離と規格化


少し量子力学の歴史を振り返ってみます。

1905年A. Einsteinが「相対性理論」を発表しました。さらにA. Einsteinは「光電効果」も解きました。そしてR. Millikanが油滴実験で電子の質量を確かめました。電子の質量はme=9.1094×10^-34(Kg)という軽さです。さらに1913年にはN. Bohrが原子の電子軌道を円・楕円の軌跡で表わすBohrモデルを発表しました。しかし、この後の約10年間、量子力学の学会は少し停滞期に入りました。というより、対立する学説と膠着状態となりました。

しかし1923年にW. Heisenbergが「不確定性原理」を発表しました。この理論の一部の結論だけ端的に言うと「原子の電子軌道では電子のような質量の軽い粒子は円・楕円の軌跡で表わすことは不可能である」ということです。つまり円・楕円の軌跡で表わすBohrモデルを否定した理論であったわけです。さらに同年にはA. Comptonの「コンプトン効果」、Louis De Broglieの「デブロイ波」の発表もあり、量子力学は再び活況を呈しました。活況と言っても内容は、「電子のような質量の軽い粒子には波動性もある」、「原子の電子軌道は円・楕円の軌跡で表わすことは不可能である」などという、ニュートン力学や古典電磁気学を否定するものばかりです。

そして3年後、1926年にE. Schrödingerが「電子軌道」の状態を表わす波動方程式を提唱しました。この式こそ「Schrödingerの波動方程式」と言われるものです。この式は、状態方程式であり、初期量子力学Bohrモデルの円・楕円の軌跡を完全に否定し、そして唯一無二の絶対的な式です。

量子力学の学会は、一気にこの式に傾倒しました。この「Schrödingerの波動方程式」が発表された1926年後半から1927年の1年たらずの間に、この式を採用した凄い数の論文が提出されました。金鉱発見のゴールドラッシュならぬ、シュレディンガーラッシュ、または当時流行っていた水銀・鉛から金をつくる錬金術師ラッシュとでも呼べるほどの論文の数でした。

「Schrödingerの波動方程式」の最も簡素なものの1つが、現在解いている「水素原子の厳密解」です。

今回は、水素原子の「電子軌道」の波動方程式(A-2)を変数分離します。
再掲

換算質量(reduced mass)mrを次のようにおいています。

ポテンシャルVはSI単位系で次のようにおいています。


変数分離します。
Ψ(r,θ,φ)は、rの関数R(r)、θの関数Θ(θ)、φの関数Φ(φ)の3個の関数の積で表されるものとします。

変数分離すると、「電子軌道」の波動方程式(A-2)は、次のようにφだけの関数Φ(φ)、θだけの関数Θ(θ)、rだけの関数R(r)の3個の微分方程式に分割されました。ここでm^2とℓ (ℓ+1)は定数です。


この3個の関数を個々に解いて、水素原子の「電子軌道」を求めます。


●規格化
規格化の式は、次のものです。

球面座標での規格化の式は、次のものです。

個々の関数を代入すると次のように書き換えられます。

個々の関数は変数分離されるので次のようにも書き換えられます。

さらに個々の関数毎にも規格化されている必要があるので次のようになります。

ここで、Ψ*(r,θ,φ)、R*(r)、Θ*(θ)、Φ*(φ)は、それぞれ対応する共役複素関数を表しています。





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