式(D-6)は展開すると次のようになります。

式(D-5)のP(z)をzで微分すると次のようになります。

zでもう一度微分すると次のようになります。
G(z)は次のようにおいています。
再掲

G(z)をz微分すると次のようになります。ここではG'と略記します。

zもう一度微分すると次のようになります。ここではG''と略記します。
式(D-9)と式(D-10)を代入すると、式(D-7)と式(D-8) は次のようになります。
式(D-11)と式(D-12)の微分演算子部分を求めます。

式(D-13)を、zでもう一度微分すると次のようになります。

ここの第2項の微分部分だけ求めます。

これを代入すると次のようになります。
再掲

式(D-13)と式(D-14)を、式(D-11)に代入すると次のようになります。
再掲

式(D-13)と式(D-14)を、式(D-12)に代入すると次のようになります。
再掲

式(D-15)と式(D-16)を、式(D-4)に代入します。

(1-z^2)^(|m|/2)で割ります。

第1項を(1-z^2)で整理します。

整理します。

さらに整理します。

さらに整理していきます。
式(D-17)のG、G’、 G’’に、それぞれ式(D-6)、式(D-9)、式(D-10)を代入します。

整理していきます。

さらに整理していきます。
ここでz^νの係数だけをピックアップしてみる。

第1項はν=ν+2とおけばz^νとなる。z^νの係数は次のようになります。

第2項はν=νとおけばz^νとなる。z^νの係数は次のようになります。

第3項はν=νとおけばz^νとなる。z^νの係数は次のようになります。

第4項はν=νとおけばz^νとなる。z^νの係数は次のようになります。
z^ν乗で無限級数を書き替えます。

この級数をzの累乗別に展開すると次のようになります。

一般項の係数は次のようになります。これはν=0、ν=1の時も成立します。

zにかかわらず式(D-19)の左辺が0になるためには、zの各次数の係数がそれぞれ全て0でなければならない。次の式が得られます。