水素原子の「電子軌道」の波動関数，シュレディンガー方程式の解

Ｅ．関数Ｒ（ラゲール陪多項式）

関数Ｒ(ｒ)の式(B-3)を解きます。
関数Ｒ(ｒ)
再掲

まず並べ替え、整理します。

関数と変数を次のようにおきます。

これより次のようなことが言えます。
αとは
αは定数です。後ほどα^2のところで詳しく述べます。
ρとは
「Ａ.２体問題」で出てきた円柱座標の変数ρとは全く関係ありません。ここではρ＝２αｒで、2点間の距離ｒの単純に２α倍の変数です。
式(E-1)の第1項はρとＳ(ρ)で次のように書き替えられます。

式(E-1)に代入します。

α^2を次のようにおきます。
エネルギーＥ＝Ｅ[ｎ, ℓ, ｍ]はマイナス値です。Ｅ[ｎ, ℓ, ｍ]は、主量子数ｎ、方位量子数ℓ、磁気量子数ｍで決まるエネルギー準位の値であり、定数です。Ｅ[ｎ, ℓ, ｍ]は、関数Ｒの変数ｒとは全く関係なく、他の2個の変数θ、φとも全く関係なく、定数です。換算質量μ、プランク定数ｈも定数です。つまりα^2とは、主量子数ｎ、方位量子数ℓ、磁気量子数ｍで決まる値であり、定数です。
式(E-4)に、式(E-2)・ 式(E-3) ・式(E-5)を代入すると次のようになります。

さらに書き替えます。

次のようにおきます。

これを代入します。

両辺を4α^2で割ります。

第１項を書き替えます。

関数Ｓ(ρ)を、さらに次のような初項がゼロでないベキ級数の関数に置き換えます。

この関数S(ρ)をρで微分します。

もう一度ρで微分します。

式(E-6)にこれらを代入すると次のようになります。

式(E-9)は、ラゲールの陪微分方程式 (Associated Laguerre’s Differential Equation ) と呼ばれています。この式(E-9)を解いていきます。


上式はラゲールの微分方程式(Laguerre’s Differential Equation )です。このラゲールの微分方程式は、ルジャンドルの微分方程式ほど知られていませんが、掲載されている微分方程式の本もあります。このラゲールの微分方程式を経由して式(E-9)を解く方法もあります。しかし今回は、式(E-9)ラゲールの陪微分方程式を、級数を使った数学的帰納法で解いていきます。最初に漸化式を求めます。そして次に数学的帰納法により解いていきます。

漸化式を求めます。
Ｌ(ρ)は次のような無限級数とおきました。
再掲

ρで微分します。

さらにρでもう一度微分します。

これらを式(E-9)に代入すると次のようになります。

整理します。


ここでρ^νの係数だけをピックアップしてみる。
第１項はν=ν＋1とおけばρ^νとなる。ρ^νの係数は次のようになります。

第２項もν=ν＋1とおけばρ^νとなる。ρ^νの係数は次のようになります。

第３項と第４項はν=νとおけばρ^νとなる。ρ^νの係数は次のようになります。


ρ^ν乗で無限級数を書き替えます。

左辺の級数を展開し、ρの累乗別に整理すると次のようになります。

ρにかかわらず左辺が０になるためには、ρのすべての次数の係数が０でなければならない。一般項で表すと次のようになります。

ゆえに次のような漸化式が得られます。


有限性の確認
ここまでで、Ｌ(ρ)を無限級数とおき、漸化式は得られました。
最終的に得る波動方程式の解Ｒ(ｒ)=Ｓ(ρ)=e(^－ρ/2)ρ(^ℓ) Ｌ(ρ)はρ→∞の時、有限つまり収束する必要があるわけですが、ここで確認してみます。
Ｌ(ρ) は無限級数ですがν→∞の時e(^ρ)に漸近し収束します。

Ｒ(ｒ) はν→∞の時e(^ρ/2)ρ(^ℓ)となります。

しかしρ→∞の時、Ｒ(ｒ) ＝e(^ρ/2)ρ(^ℓ) は、無限大になる。つまり発散し、このＲ(ｒ)は波動方程式の解としては受け入れられない。


このままではＲ(ｒ)は受け入れられないので少し変更します。
Ｒ(ｒ)はe(^－ρ/2)ρ(^ℓ) 部分だけならρ→∞で収束します。Ｒ(ｒ)の残りの級数部分Ｌ(ρ)もρ→∞で収束するようにします。無限項数の無限級数Ｌ(ρ)から、有限項数の有限級数Ｌ(ρ)に変えます。項数が有限であれば級数Ｌ(ρ)はρ→∞で収束します。

Ｌ(ρ)を有限級数に変えます。
漸化式において、λ－ℓ－1=ν’とすれば、有限な項数の級数となる。 ここで、書き換えをおこないν’=ｎ’と書き換える。さらに次のようにλ=ｎと書き換えると、ｎ－ℓ－1=ｎ’となり、級数Ｌ(ρ)は次のように表されます。


最高次数の係数はa(ν’)= a(ｎ’)= a(ｎ－ℓ－1)、最高次数はρ(^ν’)= ρ(^ｎ’)= ρ(^ｎ－ℓ－1)となる。すべての項を展開すると次のように表されます。


このＬ(ρ)を、Ｒ(ｒ)の式に代入し、再確認すると次のようになります。

この式の右辺の各項はρ→∞で個々に収束します。有限の項数なのでＲ(ｒ)も収束する。 つまりＬ(ρ)を有限の項数としたときＲ(ｒ)も有限であり波動方程式の解として受け入れられることがわかります。
最初に
「変数ρ[半径]の関数Ｌ(ρ)を、人為的に無限級数」とおきました。関数Ｌ(ρ)は、値の変化するものが、変数ρ[半径, 0～∞]と項数ν[1～∞; つまり無限の項数]の2個あります。
＊ここでは私的に、項数を仮に変数として [ν]と表し関数の中に入れ、関数Ｌ(ρ)を、Ｌ(ρ, [ν])と表示します。

ここでの変更点
変数ρ[半径, 0～∞]部分は自然界の現象であり、変数ρは必ず0～∞を考える必要があります。
一方、項数νは最初に人為的に無限級数と仮定しました。ゆえに項数νは人為的に有限級数と変更可能です。
ここでは、「変数ρ[半径, 0～∞]と変数ν[項数, 1～ν’ ; つまり有限の項数]の関数Ｌ(ρ, [ν])を有限級数」と変更します.

現在の状態の再確認
有限な項数νの有限級数の関数Ｌ(ρ, [ν])とe(^－ρ/2)ρ(^ℓ)を掛けたもの、つまり波動関数Ｒ(ｒ)は変数ρ[半径]が無限大∞まで大きくなっても発散しない。ゆえにＲ(ｒ)＝e(^－ρ/2)ρ(^ℓ)×Ｌ(ρ, [ν])は波動関数として受け入れられる。
数学的帰納法により、有限級数Ｌ(ρ)を求めます。
(i)　まず最初に、最高次数 の係数 を次のように規定する。

(ii) 漸化式で、ν→ν－1と置き換えると次のように書き換えられる。


ここで、λ－ℓ－1=ｎ’(=ν’)とすれば、a(ν’+1)= a(ν’+2)= a(ν’+3)・・・=0となり、 λ=ｎと書き換えれば、ｎ－ℓ－1=ｎ’となる。

最高次数ρ(^ν’)の係数aν’は、ν’=ｎ’と書き換えるとaν’= aｎ’となる。
つまり上の式でν’をｎ’と書き換えると次のようになる。

さらに、ｎ’=ｎ－ℓ－1を代入すると次のようになる。

ここで最高次数ρ(^ν’)= ρ(^ｎ’)= ρ(^ｎ－ℓ－1)の係数：

を代入すると次のようになる。


(iii) 漸化式で、ν→ν－2と漸化式で置き換えると…
(iv) 漸化式で、ν→ν－3と漸化式で置き換えると…
これらを整理して書き並べていくと次にようになる。

数学的帰納法により一般項は次にようになる。

これより級数は次のように表される。


k’=(ｎ－ℓ－1)－kと置き換えて、初項と末項を入れ替えます。

このＬ (ρ)を、Ｒ(ｒ)の式に代入すると次のようになる。

以上でｒの波動関数Ｒ(ｒ)が得られました。しかし規格化されていません。次に規格化します。


規格化された波動関数Ｒ(ｒ)
関数Ｒ(r)の規格化の式は次のものです。　
再掲

Ｒ(ｒ)は実数の関数でありＲ*(r)= Ｒ(r)である。ゆえに次のように簡略化できます。

ここで関数Ｒ(r)に規格化定数Nを追加し、規格化された関数R(ｒ)を次のようにおき直します。

規格化の式に代入すると次のようになります。


定積分部分は次の値であることが知られています。


これを代入すると次のようになります。

ここでは規格化定数として次を採用します。


ゆえに規格化された関数Ｒ(ｒ)は次のように得られます。

表現が異なる3種類を書いておきます。

●ρで表わした規格化された関数Ｒ
関数 を解いた直後の形。変数ρは主量子数ｎとボーア半径a0に対して比で表わされています。


●σで表わした規格化された関数Ｒ
変数σはボーア半径a0に対して比で表わされています。


●ｒで表わした規格化された関数Ｒ
α=Z/(ｎa0)およびｒ=2αρより、変数をρ→ｒと戻す。
球面座標の変数ｒ(電子と陽子の2点間距離)で、これが求めた関数 。



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「量子力学入門　水素原子の電子軌道 : シュレディンガー波動方程式 (改訂)」
ここでは掲載できなかったラゲール(Laguerre)の規格化定数(normalization constant)を、
「付録Ⅱ. 関数Ｒの規格化」 (pp159-166) に掲載しています。
　ISBN
　9784802095792
　
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